在最近的播客中我最喜欢的定理,我的Cohost Kevin Knudson和我有机会与Ben奥林,数学教育者和流行博客的作者交谈数学与糟糕的图纸以及两本书,数学与糟糕的图纸改变是唯一的常量。你可以在这里或在这里收听这一集kpknudson.com,还有成绩单。

奥林决定不谈论定理,而是关于一个最喜欢的数学对象,Weierstrass的功能。这个功能,有时称为“怪物,的问题,回答了连续性和可微性有多紧密的联系。在数学中,连续性大概就是你所想的那样:一个函数是连续的,如果附近的输入被送到附近的输出。(有没有更严格的定义?是的!如果你坚持的话)。一个函数可怜的如果在每一点,您可以找到一个切线线,直线近似于该点附近的函数的路径。

在粗略的术语中,当您考虑函数图时,连续功能是一个没有跳转的函数,并且一个可差的函数是没有角落或尖峰的函数。似乎清楚的是,一个函数必须是连续的,以便在其上有一个角的函数 - 一个例子是绝对值函数f(X)= |X|,,在哪里|X| =X如果X大于或等于0和|X| = -X如果X小于0-无处不在,无处不在X=0,也就是这个角。

烹饪一个有很多角落的函数并不是很难。例如,您可以在每个整数处使用峰值或谷的锯齿函数。除了在那些孤立的点之外,这种功能将是可差的,除了数字中的无限,但礼貌地间隔。Weierstrass想知道如何在不可差异的持续功能的情况下是否有限制,这个例子表明它可以是不可差异的漂亮的。虽然该功能无处不在,但在任何时候都没有区别。

Weierstrass函数的例证,显示了在每种规模上出现的剪切方式。信用:Eeyore22Wikimedia.

要迂腐,说不准确Weierstrass函数。Weierstrass的原始施工允许选择两个参数,因此有一个全家这些功能。自韦斯特拉斯首次发表他的曲线以来,其他数学家已经确定了更多这样的怪物,甚至证明在某种意义上,最多连续曲线是不可微的。对于我们这些喜欢数学整洁的人来说,这是一个打击,但也许我们可以把它看作是一个邀请,让我们去思考我们在数学中应该期待的更大更奇怪的东西。

在我最喜欢的定理的每一集中,我们要求我们的客人与他们的定理配对。您必须查看该集中,看看为什么orin思考分子美食是对Weierstrass功能的理想伴奏。